Гиппократовы луночки

Предложение в том виде, в каком оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гиппократа, который нашёл квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб Ибн Альхаитам. Французские математики А. де Лион и Г. Парди высказали её вновь в 1654 и в 1671 гг.

Теорема: Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то площадь полукруга, построенного на гипотенузе, будет равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах этого прямоугольного треугольника.

Дано: прямоугольный треугольник; полуокружность

Доказать: вершина треугольника принадлежит полуокружности

Доказательство:

1)Пусть K_a, K_b и K_c-площади полукругов, построенных на катетах и гипотенузе.
2)Согласно теореме о подобных фигурах, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, имеем:

K_a+K_b=K_c.

3)Этот же результат можно получить, умножив обе части равенства:

c²=a²+b²

на π/8. В самом деле, равенство

π*c/8=π*a/8+π*b/8

означает, что площадь полукруга с диаметром c равна сумме площадей двух других полукругов,c диаметрами a и b.
Если мы отнимем одни и те же части (на рисунке они не закрашены) как от полукруга, построенного на гипотенузе, так и от полукругов построенных на катетах, то, вследствие только что доказанной теоремы, получим, что сумма площадей луночек равна площади треугольника.